कर्टोसिस: परिभाषा, प्रकार और महत्व

1905 में, कार्ल पियर्सन ने कर्टोसिस को पेश किया, जिसका अर्थ है वक्र की डिग्री। इस लेख में हम चर्चा करेंगे कर्टोसिस क्या है, इसके प्रकार और गणना का फॉर्मूला।

कर्टोसिस क्या है?

कर्टोसिस एक सांख्यिकीय माप है। कर्टोसिस का उपयोग आपको किसी डेटासेट की विशेषताएँ प्राप्त करने की अनुमति देता है।

एक चार्ट पर प्लॉट किया गया डेटा और उस डेटा की औसत से सबसे दूर वक्र की दोनों तरफ एक पूँछ बनाता है। कर्टोसिस का उपयोग करने से आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि टेल्स यानि पूँछ में कितना डेटा है। एक सकारात्मक कर्टोसिस भारी पूँछ और अधिक शिखरता का संकेत देता है। नकारात्मक कर्टोसिस का अर्थ है एक सपाट और हल्की पूँछ।

तो, कर्टोसिस पूँछ के बारे में जानकारी प्रदान करता है, सामान्यता से विचलन की पहचान करने में मदद करता है, और तुलना करने में मदद करता है। दूसरे शब्दों में, कर्टोसिस एक संकेतक है जो पूँछ के भारीपन और उसकी मोटाई को मापता है।

कर्टोसिस वितरण तीन प्रकार के होते हैं: मेसोकर्टिक (सामान्य), प्लैटिकर्टिक (सामान्य से कम), और लेप्टोकर्टिक (सामान्य से अधिक)। वे आकार, पूँछ और शिखर को मापते हैं और उसका वर्णन करते हैं। संभाव्यता वितरण (यानि प्रॉबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन) में, यह एक वितरण के सामान्य से विचलन की राय दे रहा है, जिसे घंटी के आकार के रूप में जाना जाता है। हम नीचे इस पर और विस्तार से चर्चा करेंगे।

कम और बड़े कर्टोसिस वाले वितरणों पर विचार करें। पहले मामले में, वितरण में सामान्य रूप से वितरित डेटा की तुलना में कम पूँछ का डेटा होता है, जो घंटी के वक्र की पूँछ को औसत से दूर धकेलता है। दूसरे मामले में, वितरण में पूँछ का अधिक डेटा होता है, जो पूँछ को औसत के करीब लाता है।

कर्टोसिस निवेशकों को क्या जानकारी देता है? रिटर्न वितरण के उच्च कुर्टोसिस से पता चलता है कि औसत निवेश रिटर्न से परे की कीमत में बहुत अधिक उतार-चढ़ाव हुआ करता था। यह पता चला कि, इस मामले में, निवेशक को कीमत में तेज उतार-चढ़ाव का सामना करना पड़ सकता है। इसे अतिरिक्त जोखिम कहा जाता है।

कर्टोसिस को समझना

कर्टोसिस एक संकेतक है जो वितरण की पूँछों का औसत (वितरण वक्र का केंद्र) से अनुपात दर्शाता है। उदाहरण के लिए, हमारे पास कुछ डेटा वाला एक हिस्टोग्राम है जो घंटी की चोटी को दर्शाता है। सामान्य कर्टोसिस के साथ, अधिकांश डेटा औसत के तीन मानक विचलन के अंदर होता है। हालाँकि, उच्च कर्टोसिस पर, पूँछें सामान्य घंटी वितरण के तीन मानक विचलनों से अधिक आगे बढ़ जाती हैं।

कर्टोसिस एक वितरण की पूँछ के आकार के बारे में उसके समग्र आकार का वर्णन करता है। इसे किसी वितरण की शिखरता के माप के साथ भ्रमित ना करें; कर्टोसिस “पूँछ” को मापता है, “नुकीलेपन” को नहीं। तो, एक वितरण में उच्च कर्टोसिस के साथ निम्न शिखर भी हो सकता है, और इसके विपरीत भी।

फॉर्मूला एवं गणना

कर्टोसिस सामान्य वितरण की तुलना में वितरण की सापेक्ष सपाटता या शिखरता को दर्शाता है। एक नकारात्मक कर्टोसिस अपेक्षाकृत सपाट वितरण को इंगित करता है; इसके विपरीत, एक सकारात्मक कर्टोसिस अपेक्षाकृत शिखरता के वितरण को इंगित करता है।

कर्टोसिस की गणना करने के लिए कई तरीके हैं, लेकिन सबसे आसान तरीका गूगल शीट्स या एक्सेल के फॉर्मूले का उपयोग करना है। मान लीजिए कि आपके पास डेटा के निम्नलिखित सैंपल हैं: 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 4, और 7 आपकी स्प्रैडशीट में सेल A2 से A11 में। इस मामले में, कर्टोसिस की गणना के लिए इस फॉर्मूले का उपयोग करें:

जहाँ:

n — सैंपल साइज;

x_i — परिवर्ती x का अवलोकन;

x̄ — परिवर्ती x की औसत;

s — सैंपल मानक विचलन।

कर्टोसिस की गणना मैन्युअल रूप से करने में समय लगता है, इसलिए हम कंप्यूटर सॉफ़्टवेयर का उपयोग करने की सलाह देते हैं। यदि आप सेल A2 से A11 में डेटा के आधार पर गूगल शीट या एक्सेल कर्टोसिस के निम्नलिखित फॉर्मूला का उपयोग करते हैं तो यह और भी आसान हो जाता है:

=KURT(A2:A11)

उदाहरण

नीचे एक्सेल की वर्कशीट में कर्टोसिस फॉर्मूले की गणना दी गई है।

फॉर्मूला	विवरण	परिणाम
=KURT(A2:A11)	उपरोक्त डेटासेट का कर्टोसिस	-0.1517996372

इसका परिणाम -0.1518 का कर्टोसिस है, जो यह दर्शाता है कि वक्र हल्की पूँछ के साथ एक प्लैटीकुर्टिक है।

कर्टोसिस के प्रकार

कर्टोसिस की तीन श्रेणियाँ हैं जिन्हें एक डेटासेट प्रदर्शित कर सकता है — मेसोकर्टिक, लेप्टोकर्टिक और प्लैटीकर्टिक। कर्टोसिस के सभी मापों की तुलना सामान्य वितरण वक्र से की जाती है।

मेसोकर्टिक वितरण क्या है?

मेसोकर्टिक वितरण में, आउटलेर्स यानि समान्य से परे के वितरण ना तो अत्यधिक दुर्लभ हैं और ना ही ये अत्याधिक बार-बार होते हैं। इसकी एक मध्यम पूँछ होती है। उदाहरण के लिए, कभी-कभी मादा शिशु हाथी का वजन 180 पाउंड से कम या 240 पाउंड से अधिक होता है, जिसका औसत वजन 210 पाउंड होता है।

यह पता चलता है कि चरम वितरण मूल्य की विशेषता सामान्य वितरण की विशेषता के समान ही होती है। इस मामले में, कर्टोसिस = 3 क्योंकि सामान्य वितरण में कर्टोसिस 3 है।

निवेशक लाभ — मेसोकर्टिक वितरण वाले स्टॉक मध्यम स्तर का जोखिम पेश करते हैं।

मेसोकर्टिक वितरण का उदाहरण

आमतौर पर, जन्म के समय एक मादा शिशु हाथी का वजन लगभग 210 पाउंड होता है। हमारे इस उदाहरण में, वैज्ञानिक हाथियों के जन्म समय के वजन के वितरण में रुचि रखता हैं। ऐसा करने के लिए, वह दुनिया भर के रिजर्व और चिड़ियाघरों से डेटा का अनुरोध करता है। परिणामस्वरूप, उन्होंने 400 मादा शिशु हाथियों के जन्म के समय के वजन पर डेटा एकत्र किया।

ये डेटा ऊपर दिए गए चार्ट में दिखाया गया है। जैसा कि आप देख सकते हैं, आवृत्ति वितरण (सलेटी बार) मोटे तौर पर सामान्य वितरण (हरे वक्र) से मेल खाता है। इस प्रकार, सामान्य वितरण मेसोकर्टिक है।

वैज्ञानिक नमूने के कुर्टोसिस की गणना करने का निर्णय लेता है: यह 3.09 है, और अतिरिक्त कुर्टोसिस 0.09 है। इस प्रकार, उनका मानना है कि वितरण मेसोकर्टिक है।

प्लैटीकुर्टिक वितरण क्या है?

यह शब्द “प्लैटीकुर्टिक” एक ग्रीक शब्द है, जहाँ “प्लैटस” का अर्थ है सपाट, और “कर्टोस” का अर्थ है उभरा हुआ। यह एक सांख्यिकीय टर्म है जिसका उपयोग वितरण को मापने के लिए किया जाता है।

प्लैटीकुर्टिक वितरण के साथ, कर्टोसिस सामान्य वितरण की तुलना में कम होता है। इस मामले में, कर्टोसिस <3 और अतिरिक्त कर्टोसिस <0 है।

इसकी एक चपटी और पतली पूँछ है, जो कम आउटलेयर यानि सामान्य से परे का संकेत देती है। कभी-कभी, प्लैटीकुर्टोसिस को नकारात्मक कर्टोसिस कहा जाता है क्योंकि अतिरिक्त कर्टोसिस नकारात्मक होता है।

निवेशक लाभ — प्लैटीकुर्टिक वितरण वाले स्टॉक मध्यम से कम स्तर का जोखिम पेश करते हैं।

प्लैटीकुर्टिक वितरण का उदाहरण

यहाँ, हम प्लैटीकुर्टिक को एक उदाहरण के साथ समझाते हैं। एक समाजशास्त्री अध्ययन करता है कि 14 से 18 वर्ष की आयु के कितने हाई स्कूल छात्र खेल के शौकीन हैं। स्कूल में निर्दिष्ट आयु के 400 छात्र हैं।

यह डेटा ऊपर दिए गए चार्ट में दिखाया गया है। जैसा कि आप देख सकते हैं, आवृत्ति वितरण (सलेटी बार) सामान्य वितरण (हरे वक्र) का पालन नहीं करता है। हालाँकि, वे मोटे तौर पर एक समान वितरण (बैंगनी वक्र) के अनुरूप हैं। इस प्रकार, समान वितरण एक प्लैटीकुर्टिक है।

समाजशास्त्री सैंपल के कुर्टोसिस की गणना करने का निर्णय लेता है: यह 1.78 है, और अतिरिक्त कुर्टोसिस 1.22 है। इस प्रकार, उनका मानना है कि वितरण प्लैटीकुर्टिक है।

नोट! ग्राफ़ पर, आप वितरण (पूँछ) के सबसे दाएं और बाएं हिस्सों में देख सकते हैं कि बैंगनी वक्र (समान वितरण) के नीचे का स्थान हरे वक्र (सामान्य वितरण) के नीचे की तुलना में पतला है। ये “पतली पूँछें” हैं।

लेप्टोकर्टिक वितरण क्या है?

यह शब्द “लेप्टोकुर्टिक” एक ग्रीक शब्द है, जहाँ “लेप्टोस” का अर्थ संकीर्ण है, और “कुर्टोस” का अर्थ उभार है। लेप्टोकुर्टिक का अर्थ याद रखने के लिए, एक मोटी पूँछ वाले कूदते हुए कंगारू की कल्पना करें।

लेप्टोकर्टिक वितरण का मतलब बहुत सारे आउटलेर्स हैं, इसलिए इसकी एक मोटी पूँछ होती है। यह सामान्य वितरण की तुलना में अधिक कर्टोटिक है, इसलिए इसका कर्टोसिस > 3 और अतिरिक्त कर्टोसिस > 0 है। कभी-कभी, लेप्टोकुर्टोसिस को सकारात्मक कर्टोसिस कहा जाता है क्योंकि अतिरिक्त कर्टोसिस सकारात्मक होते हैं।

लेप्टोकर्टिक वितरण का उदाहरण

हमारे उदाहरण में, 4 एस्ट्रोनॉमर्स पृथ्वी और ड्रेको तारामंडल के एक नीले तारे Nu2 ड्रेकोनिस ए के बीच की दूरी मापने की कोशिश कर रहे हैं। इनमें से प्रत्येक इस दूरी को 100 बार मापता है और प्राप्त जानकारी को एक सामान्य डेटासेट में भेजता है।

यह डेटा ऊपर दिए गए चार्ट में दिखाया गया है। जैसा कि आप देख सकते हैं, आवृत्ति वितरण (सलेटी बार) सामान्य वितरण (हरे वक्र) का पालन नहीं करता है। हालाँकि, वे मोटे तौर पर लाप्लास वितरण (नीला वक्र) के अनुरूप हैं। इस प्रकार, लाप्लास वितरण लेप्टोकर्टिक है।

एस्ट्रोनॉमर्स ने सैंपल से कुर्टोसिस की गणना करने का निर्णय लिया: यह 6.54 है, और अतिरिक्त कुर्टोसिस 3.54 है। इस प्रकार, वे सोचते हैं कि वितरण लेप्टोकर्टिक है।

नोट! ग्राफ़ पर, आप वितरण (पूँछ) के सबसे दाएं और बाएं हिस्सों में देख सकते हैं कि नीले वक्र (लाप्लास वितरण) के नीचे का स्थान हरे वक्र (सामान्य वितरण) के नीचे की तुलना में थोड़ा मोटा है। ये “मोटी पूँछें” हैं।

कर्टोसिस का उपयोग करना

मूल्य की अस्थिरता के निवेश जोखिम को मापने के लिए निवेशक कर्टोसिस का उपयोग करते हैं। यह उस अस्थिरता की डिग्री का अनुमान लगाता है जो किसी निवेश की कीमत में नियमित रूप से अनुभव की जाती है।

कोई निवेशक इस डेटा का उपयोग कैसे कर सकता है? उच्च कर्टोसिस दो विपरीत कारकों को इंगित करता है क्योंकि इसमें दोनों तरीकों से उतार-चढ़ाव हो सकता है: या तो एक बड़ा सकारात्मक या एक बड़ा नकारात्मक रिटर्न। इसलिए, रिटर्न के वितरण में उच्च कुर्टोसिस का मतलब यह हो सकता है कि निवेश समय-समय पर अत्यधिक रिटर्न उत्पन्न करेगा।

मान लीजिए प्रति शेयर औसत कीमत $19.75 की है। यदि इस कीमत में व्यापक रूप से और अक्सर उतार-चढ़ाव होता है, तो घंटी के वक्र में भारी पूँछ (उच्च कर्टोसिस) होगी। इस तरह की पूँछें दर्शाती हैं कि शेयर की कीमत में बहुत उतार-चढ़ाव होता है, जिस पर निवेश करते समय विचार किया जाना चाहिए।

उच्च कर्टोसिस के विपरीत, निम्न कर्टोसिस अधिक अनुमानित रिटर्न प्रोफ़ाइल को इंगित करता है, यानी, धन खोने का कम जोखिम रखता है। जोखिम को कम करने और एक सुरक्षित और कम अस्थिर पोर्टफोलियो बनाने के लिए, निम्न कर्टोसिस वाले निवेश की तलाश करना आवश्यक है।

कर्टोसिस बनाम अन्य सामान्य माप

कर्टोसिस एक सांख्यिकीय माप है जो दिखाता है कि संभाव्यता वितरण में कितना डेटा औसत बनाम पूँछ के आसपास केंद्रित है। आमतौर पर इस्तेमाल होने वाले कुछ कर्टोसिस निचे दिए गए हैं:

• अल्फा बेंचमार्क इंडेक्स के सापेक्ष अतिरिक्त रिटर्न का अनुमान लगाता है।
• बीटा व्यापक बाज़ार के सापेक्ष स्टॉक की अस्थिरता का अनुमान लगाता है।
• आर-स्क्वायर पोर्टफोलियो की चाल के उस प्रतिशत का अनुमान लगाता है जिसे बेंचमार्क समझा सकता है।
• शार्प अनुपात रिटर्न की तुलना जोखिम से करता है।

कर्टोसिस वितरण के शिखर या समतलता को मापता है, और अल्फा और बीटा वितरण की विषमता की डिग्री को मापते हैं।

आर-स्क्वायर का उपयोग प्रतिगमन मॉडल फिट (प्रतिगमन विश्लेषण में) की सटीकता का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है जबकि कर्टोसिस का उपयोग वितरण के साइज़ (वर्णनात्मक आंकड़ों में) का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

यदि हम कर्टोसिस और शार्प अनुपात की तुलना करते हैं, तो पहला डेटासेट के वितरण का विश्लेषण करता है, और दूसरा निवेश की प्रभावशीलता का मूल्यांकन करता है। निवेशक शार्प अनुपात का उपयोग यह देखने के लिए करते हैं कि उन्हें मिलने वाले रिटर्न का स्तर उठाए गए जोखिम के स्तर से मेल खाता है या नहीं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

विचार करें कि कर्टोसिस के बारे में निवेशकों की रुचि किन प्रश्नों में है।

तिरछापन और कर्टोसिस के बीच क्या अंतर है?

Skewness (यानि तिरछापन) औसत के बारे में वितरण की सापेक्ष समरूपता को मापता है। इसका उपयोग समरूपता के लिए डेटा को मापने के लिए किया जाता है। यह सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य विषमता का हो सकता है। यदि तिरछापन गुणांक (CS) = 0 है, तो डेटा सममितीय है। सकारात्मक तिरछेपन में, पूँछ दाहिने ओर से लंबी होती है। नकारात्मक तिरछेपन में, पूँछ बाईं ओर से लंबी होती है।

दूसरी ओर, कर्टोसिस सामान्य वितरण की पूँछ या शिखरता को मापता है। इससे पता चलता है कि डेटासेट औसत से आगे निकल गया है। इसके भी तीन प्रकार हैं: लेप्टोकुर्टिक (> 3), मेसोकर्टिक (= 3), और प्लैटीकुर्टिक (< 3)। तिरछेपन में, हम समरूपता मापते हैं; कर्टोसिस में, हम हल्की और भारी को पूँछ मापते हैं।

कर्टोसिस क्यों महत्वपूर्ण है?

कर्टोसिस वित्त और निवेश में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि डेटासेट सामान्य वितरण का पालन करता है या नहीं। सामान्य वितरण 3 के बराबर होता है। यह विभिन्न वितरणों के बीच अंतर करने में मदद करता है। जैसे लेप्टोकुर्टिक में एक पतली चोटी होती है, मेसोकर्टिक में सामान्य वितरण होता है, और प्लैटीकुर्टिक संभवतः सपाट होता है।

अतिरिक्त कर्टोसिस क्या होता है?

अतिरिक्त कर्टोसिस सामान्य वितरण और कर्टोसिस के गुणांक की तुलना करता है। सामान्य वितरण में, कर्टोसिस तीन के बराबर होता है। इस प्रकार, अतिरिक्त कर्टोसिस तीन से अधिक या कम का होगा। कुछ मॉडलों में, सामान्य वितरण शून्य के बराबर भी होता है, इसलिए कर्टोसिस शून्य से अधिक या कम का होगा।

निवेश में अतिरिक्त कुर्टोसिस एक पूँछ का जोखिम या संभाव्यता वितरण द्वारा अनुमानित एक दुर्लभ घटना के कारण नुकसान की संभावना है। यदि ऐसी घटनाएँ वितरण के संकेत से अधिक बार घटित होती हैं, तो पूँछों को “मोटा” कहा जाता है।

डेटा विश्लेषण में कर्टोसिस के क्या उपयोग होते हैं?

यह डेटा सेट के वितरण का वर्णन करता है। कर्टोसिस दर्शाता है कि किसी विशेष वितरण के डेटा सेट बिंदु सामान्य वितरण से किस हद तक भिन्न हो सकते हैं। आप इसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए भी कर सकते हैं कि किसी वितरण में अत्यधिक मान हैं या नहीं।

निष्कर्ष

कर्टोसिस एक ऐसा सांख्यिकीय माप है जो डेटासेट की विशेषताओं का वर्णन करता है। यह दर्शाता है कि संभाव्यता वितरण केंद्र की बजाय पूँछ पर कितना गिरता है। वित्त, अर्थशास्त्र, डेटा विश्लेषण और अन्य क्षेत्रों में इसके विभिन्न उपयोग हैं। निवेशक इसका उपयोग भविष्य के निवेश के लिए मूल्यवान डेटा प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं क्योंकि यह आपको पूँछ के जोखिम को समझने में मदद करता है। हालाँकि, हमेशा याद रखें कि धन खोने के जोखिम से बचने के लिए प्राप्त किए गए डेटा की दोहरी जाँच करना आवश्यक है।